Relaciones entre el temperamento y los intervalos en la afinación

La relación entre dos tonos, llamada intervalo, es el radio de sus frecuencias absolutas. Dos intervalos diferentes se perciben como el mismo cuando los pares de tonos involucrados comparten el mismo radio de frecuencia. Los intervalos más fáciles de identificar y de afinar son los que tienen un radio definido por un número simple y entero. El término temperamento se refiere a un sistema de afinación que templa los intervalos justos (usualmente la quinta perfecta que tiene un radio de 3:2) para poder satisfacer alguna otra propiedad matemática; en igual temperamento, una quinta debería ser templada estrechándola ligeramente, esto se logra bajando su tono más agudo ligeramente o subiendo su tono más grave. Un sistema de temperamento también puede ser conocido como un juego de inter relaciones.

Templar un intervalo causa que dé un toque, que es una fluctuación en la intensidad debido a la interferencia entre dos notas cercanas, pero distintas. El radio de toques es igual a las diferencias de la frecuencias de cualquier armónico que esté presente en ambas notas y que coincida.

Se escucha claramente cuando la diferencia en las notas de estos armónicos coincidentes es pequeña (menos de 20 Hz). Como el verdadero tono de una cuerda vibrante del piano no es sólo una nota, sino un tono complejo de una serie armónica, dos cuerdas que están cercanas a un radio simple de armónicos, como una quinta perfecta, podrán dar toques a notas más altas (en sus armónicos coincidentes), debido a la diferencia en la nota entre sus armónicos coincidentes. En el caso de un intervalo que esté cercano a la quinta perfecta, el toque más fuerte será escuchado a la frecuencia fundamental de la cuerda más baja por tres (es decir, una octava más una quinta perfecta hacia arriba), y a la frecuencia de la cuerda más alta por dos (es decir, una octava arriba). Donde estas frecuencias puedan ser calculadas, un temperamento podrá ser afinado de oído tomando el tiempo de los toques de los intervalos templados.

Un método práctico para afinar el piano empieza con la afinación de un juego de cuerdas el rango medio del piano a una octava templada. Una vez que estas cuerdas estén afinadas, se puede seguir con el resto del piano comparando intervalos de octavas. Esto es conveniente, porque la octava es el intervalo más fácil de afinar (por tener el radio más simple de 2:1) luego del unísono (1:1). (Estas octavas son afinadas para no tener toques).

La tabla que sigue lista las frecuencias de toques entre notas en una octava de temperamento equitativo. La fila superior indica las frecuencias absolutas de las notas; usualmente sólo el A440 se determina a oído. Cualquier otro número indica el radio de toque entre dos tonos (que comparten la misma fila y columna con ese número) en la octava templada. Empiece afinando una nota con la otra para que esto desaparezca, luego temple ese intervalo en la dirección apropiada (ya sea haciendo que el intervalo sea más grande o más pequeño, vea más abajo) hasta que se logre la nota deseada. Los radios de toques más lentos pueden ser medidos con un metrónomo, u otros artículos. Para las terceras en la octava templada, es difícil poder afinar tantos toques por segundo, pero luego de chequear el temperamento y duplicarlo una octava bajo, todas estas frecuencias de toque quedarán presentes a la mitad del radio indicado en esta octava baja, lo que es excelente para poder verificar que el temperamento sea correcto. Una de las pruebas más fáciles para lograr el temperamento equitativo es tocar una sucesión de terceras mayores, cada una a un semitono más alto que la anterior. Si el temperamento equitativo se logra, el radio de toques de estas terceras debería aumentar de manera equitativa sobre el rango del piano.

Cualquier tabla de frecuencias indica la nota en la cual el radio de toques más fuerte debería ocurrir para los intervalos útiles. Como se mencionó antes, cuando se está afinando una quinta perfecta, por ejemplo, los toques pueden ser oídos no sólo en las notas fundamentales de las teclas que se tocan, sino también a una octava más una quinta (es decir, una docena) más aguda que la más baja de las dos teclas, y esto constituye la nota más baja en la cual la serie de armónicos se superpone. Una vez que se oigan los toques, el que se esté ocupando de la afinación deberá templar el intervalo hacia una afinación que no tenga toques.